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FRACTALS ET CHAOS
La relativité du temps semble avoir effrayé quelques-uns d'entre vous.
N'hésitez pas à me demander des précisions si mon message ne vous a pas
paru clair.
Pierre m'a posé de chouettes questions chouettes à son propos : pourquoi la
vitesse de la lumière serait-elle nécessairement la vitesse maximum
possible d'interaction dans la nature ? Pourquoi n'y aurait-il pas
d'interaction instantanée a priori ?
La réponse est : on n'en sait rien :-)
Les observations et les théories actuelles font que l'on pose ces deux
principes comme des axiomes que l'on se donne sans les démontrer. Les
prédictions que permettent ces axiomes nous laissent penser qu'ils ont une
certaine pertinence. Mais personne ne dit qu'ils sont définitivement
*vrais*. Ils sont justes provisoirement admis comme hypothèses
intéressantes :-)
Donc oui Pierre, tu peux, comme moi, continuer à rêver d'ansible
(télécommunication instantanée) et de voyages inter-galactiques :-)))
O°oO°oO°oO°oO°oO°oO°oO°oO°oO°oO°oO°oO°oO°oO°oO°oO°oO
Je voudrais ré-interroger avec vous des thèmes que nous avons déjà abordé :
le beau, mais surtout notre refrain infini "tout est-il déterminé ?". C'est
par le biais des fractals et de la théorie du Chaos que je souhaiterais
aborder cette fois la question.
A nouveau, ne vous effrayez pas, nous ne ferons pas de mathématiques, nous
ne ferons qu'explorer un grand principe très simple à comprendre.
Les fractals et la théorie du Chaos sont des disciplines scientifiques très
jeunes. Et ce pour une raison simple : pour pouvoir appréhender leur objet,
il est absolument nécessaire de faire un nombre très important de calcul
répétitif qu'un être humain seul ne peut pas faire. Ce n'est que grâce aux
ordinateurs que ces calculs ont pu être automatisés et que résultats et
interrogations ont pu surgir.
Pourquoi ? Rappelez vous les droites et les belles courbes que vous traciez
dans vos cours de maths de collège et de lycée en vous aidant de l'axe des
x et des y. Toutes les représentations d'équations que votre professeur
vous donnait à tracer avaient une particularité : elles ne comportaient pas
de "ruptures" ou alors des "ruptures" très limitées (limite inférieure ou
supérieure ou interruption unique). Ces courbes sont ce qu'on appelle
linéaires : très concrètement, cela signifie que vous n'avez pas besoin de
calculer *tous* les points pour connaitre la forme de votre courbe.
Pas besoin donc de calculette : on calcule quelques points sur son
brouillon, on les place sur son graphique et, le poignet souple, on relie
les points.
Pour les équations fractales et chaotiques, ceci est tout simplement
impossible car la courbe n'est pas linéaire : chaque point n'est pas
nécessairement relié au précédent. Un point peut être tout en bas de votre
graphique, le suivant au milieu, le suivant tout en bas, le troisième tout
en haut, etc. La distribution des points SEMBLE VISUELLEMENT C H A O T I Q
U E.
Remarquons tout de suite, et c'est le point le plus important sur lequel je
voudrais insister, que le Chaos de la théorie du Chaos n'est donc pas un
vrai Chaos. Un vrai Chaos serait un magma totalement indéterminé. Or, dans
les équations non-linéaires dont s'occupe la théorie du Chaos, tous les
points sont TOTALEMENT DETERMINES : s'il est difficile à un esprit humain
de les prévoir, un ordinateur les calcule de façon parfaitement déterministe.
Et c'est en cela que la théorie du Chaos ouvre des domaines scientifiques
inexplorés. Avant les théories du Chaos et les ordinateurs, la science ne
pouvait traiter dans la nature que les phénomènes linéaires. Tout ce qui
n'était pas linéaire était ignoré car considéré comme trop complexe,
inappréhendable en raison des limites de la puissance de calcul de l'esprit
humain. Or, ce dont on se rend compte actuellement, c'est que les
phénomènes linéaires dans la nature sont très probablement bien moins
nombreux que les phénomènes non-linéaires.
Prenons un exemple simple : regardons une fougère (j'aurais pu prendre,
n'importe quel arbre, un chou-fleur, le réseau des bronchies, etc.) et son
extraordinaire forme complexe. Par complexe ici, je veux juste dire que ce
n'est pas en prenant des lignes droites et des cercles qu'on peut penser
pouvoir la modéliser facilement. Qui pourrait penser qu'une toute petite et
banale équation -bien entendue non linéaire- pourrait permettre de la
modéliser ? Personne avant qu'un ordinateur ne calcule tous les points de
l'équation et n'affiche sur un écran la fougère... (Cf. le post scriptum de
ce message sur Fractint).
Nous avons donc là une première caractéristique du chaos et des fractals :
leur non-linéarité mais leur totale détermination.
La deuxième caractéristique des systèmes chaotiques, c'est leur "extrême
sensibilité aux conditions initiales". L'une des origines de la théorie du
Chaos est la météorologie et le fameux "effet papillon" : un battement
d'aile de papillon sur le yang-tse pourrait provoquer un raz-de-marée en
Floride.
L'idée, là aussi, est assez simple : nous avons vu que la forme des
équations non-linéaires SEMBLE visuellement chaotique. Un point est en bas,
le suivant très loin du premier, etc. L'extrême sensibilité aux conditions
initiales veut dire ceci : il suffit que vous changiez, même de façon la
plus minime, un paramètre de départ de l'équation pour que la forme de la
courbe change *totalement*, pour que le point qui était au sommet de votre
graphique soit désormais au plus bas et ainsi de suite.
Cette extrême sensibilité rend par conséquent totalement impossible la
prédiction d'évolution d'un système si les données initiales ne sont pas
extrêmement précises.
Cela nous permet d'effectuer une importante correction sur ce que l'on dit
en général sur les phénomènes chaotiques : ce n'est pas l'objet que l'on
étudie (par exemple la météo) qui est imprévisible. Ce sont simplement les
limites de la précision que l'on donne aux paramètres de l'équation au
départ (l'impossibilité de connaitre la place et la vitesse de toutes les
molécules composant l'atmosphère) qui rend impossible la prédiction
définitive. C'est du fait des limites d'observation et de calcul que les
systèmes non-linéaires sont difficilement prédictibles car les objets qu'on
étudie alors sont et restent *totalement* déterminés.
Troisième caractéristique sur laquelle je voulais insister mais qui est
spécifique cette fois-ci aux fractals : la symétrie d'échelle (il y a des
équations non linéaires donc qui ne sont pas forcément des fractals). Vous
avez tous très probablement vu des images de fractals. Ce qui permet de
classer une équation (et donc les graphismes qu'elle produit) parmi les
fractals, c'est sa symétrie d'échelle : si l'on zoome au sein du graphisme,
quelle que soit donc l'échelle à laquelle on l'inspecte, on retrouvera des
formes géométriques similaires. Cette propriété a des conséquences
mathématiques dont je ne peux absolument pas vous parler car je suis
totalement incompétent en la matière.
Il n'y a pas de leçon philosophique directe à tirer de cette propriété.
Elle nous plonge seulement devant une beauté fascinante sans doute très
proche du sublime kantien en tant que, d'une certaine façon, elle met en
image le fini qui contient l'infini. Les fractals en ce sens sont une
véritable expérience esthétique.
L'illustration philosophique fondamentale des fractals et du chaos existe
cependant. C'est celle sur laquelle je ne cesse d'insister : la
détermination des choses. Un nombre infini de domaines ou d'objets d'études
qui semblaient auparavant le lieu du désordre, de l'imprédictible, de
l'indéterminé sont en fait parfaitement axiomatisables, théorisables par de
petites équations non-linéaires.
Les limites de l'esprit humain (puissance de calcul, nombre de paramètres
appréhendés simultanément) ne doivent donc pas être des arguments en faveur
de l'existence dans l'univers d'une strate indéterminée sur laquelle
reposerait la possibilité du libre-arbitre humain.
S'il y a du difficilement prédictible, du complexe, du non-linéaire, cela
ne signifie en rien qu'il soit indéterminé.
L'être humain, système chaotique pour lui-même ?
La semaine prochaine, nous parlerons du "Singe nu", le best-seller de
Desmond Morris, édité par le Livre de Poche, et qui décrit l'être humain en
zoologue comparatiste :-)
Amitié
SB
PS : Justifiez l'achat de votre ordinateur : téléchargez Fractint :-)
Fractint est un visualisateur de fractals extraordinaire. C'est un freeware
que l'on peut télécharger ici :
http://spanky.triumf.ca/www/fractint/fractint.html
Les sites FTP miroirs en France sont listés ici :
http://spanky.triumf.ca/www/fractint/fr-sim.html
19/08/1997
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